피타고라스 정리

직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 설명하는 기하학의 가장 기초적이고 중요한 정리 중 하나이다. 임의의 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이를 각각 $a, b$라 하고, 가장 긴 변인 빗변의 길이를 $c$라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.

이 정리는 고대 그리스의 수학자이자 철학자인 피타고라스의 이름을 따서 명명되었으나, 그 이전부터 메소포타미아, 이집트, 중국 등 고대 문명권에서 이미 실용적으로 사용되었다는 증거가 남아 있다.

피타고라스의 정리를 응용해 어떠한 삼각형이 예각삼각형인지, 직각삼각형인지, 둔각삼각형인지 판별할 수 있다.
$a^2+b^2>c^2$ 일 때, $\rm\angle C<90\degree$인 예각삼각형이다.
$a^2+b^2<c^2$ 일 때, $\rm\angle C>90\degree$인 둔각삼각형이다.

$a^2+b^2=c^2$을 만족시키는 세 자연수를 피타고라스 수라고 한다.

목록으로는 대표적으로 $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(7,24,25)$, $(8,15,17)$ 등이 있는데, 이들의 비를 이용하여 $(6,8,10)$, $(10,24,26)$ 등의 세 쌍을 발견할 수 있다.

위 그림과 같이 직각삼각형 $\rm ABC$의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 세 개를 만들고, 점 $\rm C$에서 $\rm\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $\rm L$, 그 연장선 $\rm\overline{LM}$과 $\rm\overline{FG}$의 교점을 $\rm M$이라고 하면

$\rm\overline{CB}$ // $\rm\overline{EA}$이므로 등적변형을 이용하여 $\rm\triangle ACE=\triangle EAB$이다.

$\rm\overline{AB}=\overline{AF}, \overline{AE}=\overline{AC}, \angle EAB=\angle CAF$이므로 $\rm\triangle ABE\equiv\triangle AFC$이고, 합동 조건은 $\rm SAS$이다.

또한 $\rm\overline{AF}$ // $\rm\overline{CM}$이므로 $\rm\triangle AFC=\triangle AFL$이다.

즉, $\rm\triangle ACE=\triangle AFL$이므로, $\rm\square ACDE=\square AFML$이고, 같은 방법으로 $\rm\square BHIC=\square LMGB$이다.

따라서 $\rm\square ACDE+\square BHIC=\square AFGB$이므로

$\rm\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\overline{AB}^2$

바꿔 말하면 $a^2+b^2=c^2$이다.

위 그림과 같이 한변의 길이가 $a+b$인 정사각형 $\rm CDEF$에서

이고, 합동 조건은 $\rm SAS$이다.

이므로, 등식을 세우면

$(a+b)^2=4×\dfrac 12 ab+c^2$이고, 전개하면

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$

따라서 $a^2+b^2=c^2$

위 그림과 같이 $\rm\square ABCD$에서 합동인 직각삼각형 4개를 만들면 $\rm\square CFGH$는 한 변의 길이가 $a-b$인 정사각형이다.

$\rm\square ABDE=\square CFGH+4\triangle ABC$이므로 등식을 세우면

$c^2=(a-b)^2+4×\dfrac 12 ab$이고, 전개하면

$c^2=a^2-2ab+b^2+2ab$이므로

$c^2=a^2+b^2$

$\rm\angle C$는 공통, $\rm\angle BAC=\angle AHC=90\degree$이므로 $\rm\triangle ABC \sim \triangle HAC$이고, 닮음 조건은 $\rm AA$이다.

$\rm\overline{BC}:\overline{AC}=\overline{AC}:\overline{HC}$이므로 $\rm\overline{AC}^2=\overline{BC}×\overline{HC}$이다.

또한 $\rm\triangle ABC \sim \triangle HBA$이므로

$\rm\overline{BC}:\overline{AB}=\overline{AB}:\overline{BH}$이므로 $\rm\overline{AB}^2=\overline{BC}×\overline{BH}$이다.

이 두 식을 합하면 $\rm\overline{AC}^2+\overline{AB}^2=\overline{BC}×\overline{HC}+\overline{BC}×\overline{BH}$

$\rm\overline{AC}^2+\overline{AB}^2=\overline{BC}×(\overline{HC}+\overline{BH})$

$\rm\overline{HC}+\overline{BH}=\overline{BC}$이므로

$\rm\overline{AC}^2+\overline{AB}^2=\overline{BC}^2$

결과적으로 피타고라스 정리가 성립함을 알 수 있다.