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삼각형의 오심

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평면기하학
Plane Geometry
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1. 개요2. 목록
2.1. 외심
2.1.1. 성질
2.2. 내심
2.2.1. 성질
2.3. 무게중심
2.3.1. 성질
2.4. 수심
2.4.1. 성질
2.5. 방심
2.5.1. 성질

1. 개요[편집]

삼각형에서의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심)을 다루는 문서.

2. 목록[편집]

2.1. 외심[편집]

파일:삼각형의 외심.webp
△ABC\rm\triangle ABC의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 외접원이라 하고, 이 외접원의 중심을 외심이라고 한다. 주로 영문자 O\rm O로 나타낸다.

2.1.1. 성질[편집]

  • 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 외심에서 만난다.
  • 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점까지 이르는 거리는 같다. 즉, OA‾=OB‾=OC‾\rm \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}이다.
  • 예각삼각형에서는 삼각형의 내부에 외심이 존재한다.
  • 직각삼각형에서는 빗변의 중점에 외심이 존재한다.
  • 둔각삼각형에서는 삼각형의 외부에 외심이 존재한다.
파일:외심 성질 증명.webp
  • ∠BOC=2∠A\rm\angle BOC=2 \angle A이다.
    • ∠BOD=∠OAB+∠OBA\rm\angle BOD=\angle OAB+\angle OBA이므로 ∠x+∠x=2∠x\angle x+\angle x=2 \angle x
      ∠COD=∠OAC+∠OCA\rm\angle COD=\angle OAC+\angle OCA이므로 ∠y+∠y=2∠y\angle y+\angle y=2 \angle y
      ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠A\therefore\rm \angle BOC=\angle BOD+\angle COD=2 \angle A
파일:외심 성질 증명 2.jpg
  • ∠x+∠y+∠z=90°\angle x+\angle y+\angle z=90\degree이다.

2.2. 내심[편집]

파일:삼각형의 내심.webp
△ABC\rm\triangle ABC의 모든 변의 접하는 원을 내접원이라고 하고, 이 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 주로 영문자 I\rm I로 나타낸다.

2.2.1. 성질[편집]

  • 삼각형의 세 내각의 이등분선은 내심에서 만난다.
  • 삼각형의 내심에서 세 변까지 이르는 거리는 같다. 즉, IP‾=IQ‾=IR‾\rm \overline{IP}=\overline{IQ}=\overline{IR}이다.
  • △ABC\rm\triangle ABC의 내접원의 반지름의 길이를 rr이라고 하면 △ABC=12r(AB‾+BC‾+CA‾)\rm\triangle ABC=\dfrac 12 r(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})이다.
파일:내심 성질 1.jpg
  • ∠x+∠y+∠z=90°\angle x+\angle y+\angle z=90\degree이다.
파일:내심 성질 2.jpg
  • ∠BIC=90°+12∠A\rm \angle BIC=90\degree + \dfrac 12 \angle A이다.

2.3. 무게중심[편집]

파일:삼각형의 무게중심.webp
삼각형의 세 중선의 교점을 무게중심이라고 하고, 주로 영문자 G\rm G로 나타낸다.

2.3.1. 성질[편집]

  • 삼각형의 세 중선은 무게중심에서 만난다.
    • 삼각형의 두 중선이 만나도 무게중심이 된다.
  • 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2:12:1로 나눈다.
파일:삼각형의 무게중심 성질.webp
  • △GAF=△GFB=△GBD=△GDC=△GCE=△GEA=16△ABC\rm\triangle GAF=\triangle GFB=\triangle GBD=\triangle GDC=\triangle GCE=\triangle GEA=\dfrac 16 \triangle ABC이다.

2.4. 수심[편집]

파일:삼각형의 수심.webp
삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 수선을 그었을때 세 수선이 만나는 교점을 수심이라고 하고, 주로 영문자 H\rm H로 나타낸다.

2.4.1. 성질[편집]

  • 삼각형의 세 수선은 수심에서 만난다.
  • 예각삼각형에서는 삼각형의 내부에 수심이 존재한다.
  • 직각삼각형에서는 직각인 꼭짓점에 수심이 존재한다.
  • 둔각삼각형에서는 삼각형의 외부에 수심이 존재한다.

2.5. 방심[편집]

파일:삼각형의 방심.webp
삼각형의 한 내각의 이등분선과 나머지 두 외각의 이등분선이 만나는 점이다.

2.5.1. 성질[편집]

  • 삼각형에서 방심은 총 3개 존재한다.
  • 삼각형에서 방심은 항상 삼각형의 외부에 존재한다.