사영 정리

$\rm\angle A=90\degree$인 직각삼각형 $\rm ABC$의 꼭짓점 $\rm A$에서 빗변 $\rm BC$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라고 하면 다음과 같은 등식이 성립한다.



직각삼각형의 닮음이라고도 불린다.

$\rm\angle ABH$는 공통, $\rm\angle AHB=\angle BAC=90\degree$ 이므로 $\rm\triangle ABC\sim\triangle HBA$이고, 닮음 조건은 $\rm AA$ 닮음이다. $\rm\overline{AB}:\overline{HB}=\overline{BC}:\overline{BA}$이므로 $\rm\overline{AB}^2=\overline{BH}×\overline{BC}$이다.

$\rm\angle ACB$는 공통, $\rm\angle AHC=\angle BAC=90\degree$이므로 $\rm\triangle ABC\sim\triangle HAC$이고, 닮음 조건은 $\rm AA$ 닮음이다. $\rm\overline{BC}:\overline{AC}=\overline{AC}:\overline{HC}$ 이므로 $\rm\overline{AC}^2=\overline{CH}×\overline{CB}$이다.

$\rm\angle HAB+\angle ABH=90\degree$,
$\rm\angle HAC+\angle HAB=90\degree$이므로, $\rm\angle ABH=\angle HAC$이고, $\rm\angle AHB=\angle AHC=90\degree$이다. 따라서 $\rm\triangle HBA\sim\triangle HAC$이고, 닮음 조건은 $\rm AA$ 닮음이다. $\rm\overline{HA}:\overline{HC}=\overline{HB}:\overline{HA}$, $\rm\overline{AH}^2=\overline{HB}×\overline{HC}$이다.