스튜어트 정리

Stewart's theorem

삼각형에서 한 점에서 대변에 일정한 비로 내분하는 변이 있을 때, 그 변과 연결한 선, 삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타낸 등식이다.
파푸스 중선정리의 일반화라고도 할 수 있다.
정리는 아래와 같다.

$\triangle ABC$에 대하여 $AB$ 위 점 $D$가 $AB$를 내분할 때, $a=BC, b=CA, c=AB, m=AD, n=BD, d=CD$라 하면, $a^2m+b^2n=c(d^2+mn)$이 성립한다.

제2 코사인법칙에 의해,
$b^2=a^2+c^2-2accosB\\d^2=a^2+n^2-2ancosB$

두 식에 각각 $n, c$를 곱하면,
$b^2n=a^2n+c^2n-2acncosB\\d^2c=a^2c+n^2c-2acncosB$

정리하면,
$b^2n-d^2c=a^2n+c^2n-a^2c-n^2c\\ \therefore a^2m+b^2n=c(d^2+mn)$ ▉