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특수각

분류

1. 개요2. 03. π/6 (30°)4. π/4 (45°)5. π/3 (60°)6. π/2 (90°, 직각)7. 2π/3 (120°)8. 3π/4 (135°)9. 5π/6 (150°)10. π (180°, 평각)11. 3π/2 (270°)12. 2π, τ (360°)13. 작도 가능한 각도
13.1. 3등분 작도가 가능한 각도
14. 허수 단위 i15. 관련 문서

1. 개요[편집]

特殊角 · special angle

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제[1] 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.

크게 [0,2π][0, 2\pi](π\pi는 원주율)를 주치로 하는 범위 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.
파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png.webp

sin⁡θ=±n2  (n=0,1,2,3,4)\sin\theta=\pm\dfrac{\sqrt n}2\;(n=0, 1, 2, 3, 4) 이 성립하는 각을 도식화한 것. 나머지는 유도 가능.

2. 0[편집]

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각비는 우극한이 존재하나, 삼각함수값은 존재한다.
  • sin⁡0=0\sin0=0
  • cos⁡0=1\cos0=1
  • tan⁡0=0\tan0=0
  • csc⁡0\csc0은 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • sec⁡0=1\sec0=1
  • cot⁡0\cot0은 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)

3. π/6 (30°)[편집]

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.
  • sin⁡π6=12\sin\dfrac\pi6=\dfrac12
  • cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2
  • tan⁡π6=13\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}
  • csc⁡π6=2\csc\dfrac\pi6=2
  • sec⁡π6=23\sec\dfrac\pi6=\dfrac2{\sqrt3}
  • cot⁡π6=3\cot\dfrac\pi6=\sqrt3

4. π/4 (45°)[편집]

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[2][3]
  • sin⁡π4=12\sin\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2}
  • cos⁡π4=12\cos\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2}
  • tan⁡π4=1\tan\dfrac\pi4=1
  • csc⁡π4=2\csc\dfrac\pi4=\sqrt{2}
  • sec⁡π4=2\sec\dfrac\pi4=\sqrt{2}
  • cot⁡π4=1\cot\dfrac\pi4=1

5. π/3 (60°)[편집]

정삼각형의 한 내각의 크기다.
  • sin⁡π3=32\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2
  • cos⁡π3=12\cos\dfrac\pi3=\dfrac12
  • tan⁡π3=3\tan\dfrac\pi3=\sqrt3
  • csc⁡π3=23\csc\dfrac\pi3=\dfrac2{\sqrt3}
  • sec⁡π3=2\sec\dfrac\pi3=2
  • cot⁡π3=13\cot\dfrac\pi3=\dfrac1{\sqrt3}

6. π/2 (90°, 직각)[편집]

直角 · right angle

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름 아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.

삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관없는 미적분에서 더 많이 쓰여서 그렇지...
  • sin⁡π2=1\sin\dfrac\pi2=1
  • cos⁡π2=0\cos\dfrac\pi2=0
  • tan⁡π2\tan\dfrac\pi2는 정의되지 않는다.(10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • csc⁡π2=1\csc\dfrac\pi2=1
  • sec⁡π2\sec\dfrac\pi2는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • cot⁡π2=0\cot\dfrac\pi2=0

7. 2π/3 (120°)[편집]

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.

라그랑주점, 삼차방정식[4]을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.
  • sin⁡2π3=32\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2
  • cos⁡2π3=−12\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12
  • tan⁡2π3=−3\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3
  • csc⁡2π3=23\csc\dfrac{2\pi}3=\dfrac2{\sqrt3}
  • sec⁡2π3=−2\sec\dfrac{2\pi}3=-2
  • cot⁡2π3=−13\cot\dfrac{2\pi}3=-\dfrac1{\sqrt3}

8. 3π/4 (135°)[편집]

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다. 정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
  • sin⁡3π4=12\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac1{\sqrt2}
  • cos⁡3π4=−12\cos\dfrac{3\pi}4=-\dfrac1{\sqrt2}
  • tan⁡3π4=−1\tan\dfrac{3\pi}4=-1
  • csc⁡3π4=2\csc\dfrac{3\pi}4=\sqrt2
  • sec⁡3π4=−2\sec\dfrac{3\pi}4=-\sqrt2
  • cot⁡3π4=−1\cot\dfrac{3\pi}4=-1

9. 5π/6 (150°)[편집]

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.
  • sin⁡5π6=12\sin\dfrac{5\pi}6=\dfrac12
  • cos⁡5π6=−32\cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2
  • tan⁡5π6=−13\tan\dfrac{5\pi}6=-\dfrac1{\sqrt3}
  • csc⁡5π6=2\csc\dfrac{5\pi}6=2
  • sec⁡5π6=−23\sec\dfrac{5\pi}6=-\dfrac2{\sqrt3}
  • cot⁡5π6=−3\cot\dfrac{5\pi}6=-\sqrt3

10. π (180°, 평각)[편집]

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平角 · straight angle

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.

주치 구간의 절반 지점이며, 다름 아닌 오일러 등식에 이 각이 들어간다.
  • sin⁡π=0\sin\pi=0
  • cos⁡π=−1\cos\pi=-1
  • tan⁡π=0\tan\pi=0
  • csc⁡π\csc\pi는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • sec⁡π=−1\sec\pi=-1
  • cot⁡π\cot\pi는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)

11. 3π/2 (270°)[편집]

직사각형의 바깥쪽 각이다.
  • sin⁡3π2=−1\sin\dfrac{3\pi}2=-1
  • cos⁡3π2=0\cos\dfrac{3\pi}2=0
  • tan⁡3π2\tan\dfrac{3\pi}2는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • csc⁡3π2=−1\csc\dfrac{3\pi}2=-1
  • sec⁡3π2\sec\dfrac{3\pi}2는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • cot⁡3π2=0\cot\dfrac{3\pi}2=0

12. 2π, τ (360°)[편집]

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한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 2π2 \pi로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.
  • sin⁡2π=0\sin2\pi=0
  • cos⁡2π=1\cos2\pi=1
  • tan⁡2π=0\tan2\pi=0
  • csc⁡2π\csc2\pi는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)
  • sec⁡2π=1\sec2\pi=1
  • cot⁡2π\cot2\pi는 정의되지 않는다. (10)\biggl(\dfrac10\biggr)

13. 작도 가능한 각도[편집]

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30°, 60°, 45°가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.
  • 15°: 45°와 30°가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15°도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15°, 75°도 특수각 범주에 넣기도 한다.
    • sin⁡π12=cos⁡5π12=6−24\sin\dfrac\pi{12}=\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4
    • cos⁡π12=sin⁡5π12=6+24\cos\dfrac\pi{12}=\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4
  • 72°: 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360°/5=72°는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.[5]
    • sin⁡π10=cos⁡2π5=5−14=12φ\sin\dfrac\pi{10}=\cos\dfrac{2\pi}5=\dfrac{\sqrt5-1}4=\dfrac1{2\varphi}
    • sin⁡π5=cos⁡3π10=10−254=3−φ2\sin\dfrac\pi5=\cos\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{3-\varphi}}2
    • sin⁡3π10=cos⁡π5=5+14=φ2\sin\dfrac{3\pi}{10}=\cos\dfrac\pi5=\dfrac{\sqrt5+1}4=\dfrac\varphi2
    • sin⁡2π5=cos⁡π10=10+254=2+φ2\sin\dfrac{2\pi}5=\cos\dfrac\pi{10}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}2
  • 3°: 72°와 60°가 작도 가능하므로, 12° 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6°를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3° 역시 작도 가능하다. 간단히는 72°와 75°를 작도해도 된다. 다시 말해 3°의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
    • 1.5°, 0.75° , 0.375° ... : 3°를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
  • 2π17=360°17\dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{360\degree}{17} (약 21.1764705882°): 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2n배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[6]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[7]은 작도 불가능하다. 이들은 유클리드 작도일때 얘기이며 종이접기나 뉴시스 작도로 범위를 넓히면 7, 9, 11, 13, 17, 19각형 등도 작도 가능하다. 다만 종이접기나 뉴시스 작도로도 23각형 등 작도가 불가능한 경우도 있다. 다만 유클리드, 종이접기, 뉴시스 작도가 불가능하더라도 root of unity의 성질에 따라서 모든 다각형은 거듭제곱근의 꼴로 나타낼 수는 있다. 다만 작도 가능한 수에서는 비교적 깔끔한 형태로 나타낼 수 있지만, 작도 불가능한 수에서는 환원 불능이라고 해서 값은 실수임이 확실하지만 허수단위를 없앨 수 없는 끔찍한 일이 벌어진다.

13.1. 3등분 작도가 가능한 각도[편집]

특수각 중 45도, 72도, 90도 등은 작도가 가능하다. 그러나 30도, 60도 등은 작도가 불가능하다.

14. 허수 단위 i[편집]

복소삼각함수를 이용해 허수 각을 생각해 볼 수도 있다. 허수를 취한 삼각함수는 쌍곡선 함수로 나타낼 수 있다. 아래 항등식에서 ee는 자연로그의 밑이다.
  • sin⁡i=isinh⁡1=e−e−12i=e2−12ei\sin i=i\sinh1=\dfrac{e-e^{-1}}2i=\dfrac{e^2-1}{2e}i
  • cos⁡i=cosh⁡1=e+e−12=e2+12e\cos i=\cosh1=\dfrac{e+e^{-1}}2=\dfrac{e^2+1}{2e}
  • tan⁡i=isinh⁡1cosh⁡1=e2−1e2+1i\tan i=\dfrac{i\sinh1}{\cosh1}=\dfrac{e^2-1}{e^2+1}i
  • csc⁡i=1isinh⁡1=−2e−e−1i=−2ee2−1i\csc i=\dfrac1{i\sinh1}=-\dfrac2{e-e^{-1}}i=-\dfrac{2e}{e^2-1}i
  • sec⁡i=1cosh⁡1=2e+e−1=2ee2+1\sec i=\dfrac1{\cosh1}=\dfrac2{e+e^{-1}}=\dfrac{2e}{e^2+1}
  • cot⁡i=cosh⁡1isinh⁡1=−e2+1e2−1i\cot i=\dfrac{\cosh1}{i\sinh1}=-\dfrac{e^2+1}{e^2-1}i

15. 관련 문서[편집]

[1] 예:삼각비[2] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 v0v_0, 발사각을 θ\theta, 중력가속도를 gg, 입자의 최대 수평도달거리를 RR이라 하면 R=v02sin⁡2θgR=\dfrac{{v_0}^2\sin2\theta}g이다. 0°<θ<90°0\degree<\theta<90\degree일 때 0<sin⁡2θ≤10<\sin2\theta\le1이고 sin⁡2θ=1\sin2\theta=1이 되도록 하는 2θ=90°2\theta=90\degree이므로 θ=45°\theta=45\degree이다.[3] 공기 저항이 있는 현실에서는 π4\dfrac\pi4보다 낮게 던져야 더 멀리 날아가며 대부분 30-45도 사이로 던져야한다.[4] 1의 세제곱근이 120°의 삼각함수의 값 두 개에서 유도되기 때문이다.
13=1 or cos⁡120°±isin⁡120°\sqrt[3]1=1~{\sf or}~\cos120\degree\pm i\sin120\degree[5] 아래 식에서 φ\varphi는 황금비이다.[6] 정15(=3×5)각형, 정408(=23×3×17)각형, 정8224(=25×257)각형 등등[7] 정27(=33)각형, 정225(=32×52)각형, 정1156(=22×172)각형 등등