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정수

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정수
-1	→	0	→	1

1. 개요2. 수학적 특징

2.1. 수로서의 0

1. 개요[편집]

0 / 零,空 / Zero[1]

-1보다 크고 1보다 작은 정수. 없음(無)을 나타내는 수로 인도에서 이 숫자의 개념을 발견/발명[2]하였다고 하며, 정수 또는 유리수 또는 실수 중에서 양수도 아니고 음수도 아닌 유일한 수다. 과거에는 무한소를 나타내는 표기로도 쓰였다.
한때는 수가 아니기도 하였다.

2. 수학적 특징[편집]

2.1. 수로서의 0[편집]

수로서의

0

은 사칙연산에 대한 여러 가지 특수성을 지니고 있다.

덧셈: $0$ 에 어떤 수를 더하거나 어떤 수에 $0$ 을 더하면 어떤 수 자신이 나온다.(덧셈의 항등원)
뺄셈: $0$ 에서 어떤 수를 빼면 부호가 바뀌어서 나오고 어떤 수에서 $0$ 을 빼면 어떤 수 자신이 나온다.(뺄셈의 우항등원)
곱셈: 어떤 수에 $0$ 을 곱하면 무조건 $\mathbf0$ 이 되어 버린다. 또한 곱했을 때 결과가 $0$ 이 나왔다면 곱한 수 중 하나 이상은 $0$ 이다.[3] 후술할 나눗셈에서 $0$ 으로 나눌 수 없는 것도 그런 이유.
나눗셈: $0$ 을 $0$ 이 아닌 수로 나누면 $0$ 이다. 나눗셈의 수학적 정의는 '역수를 곱하는 것'이다. 여기서 역수는 곱셈에 대한 역원, 즉 어떤 수와 곱해서 $1$ 이 되는 수로 정의한다. $0$ 과 곱해서 $1$ 이 되는 수는 없으므로, $\mathbf0$ 으로 나누기는 생각하지 않는다.

또한 양수도 음수도 아닌 '제3의 부호'를 갖고 있는 수이기도 하다. 이를 가장 단적으로 보여 주는 것이 다름 아닌 부호 함수인데, 양수에서부터든 음수에서부터든 어느 쪽으로 극한을 취해도 절대로 0이 될 수 없다. 실수 뿐만 아니라, 복소수 범위까지 확장해도 부호함수를 취해서 0이 되는 수는 오직 0 하나뿐이다.

[1] 사람 혹은 지역에 따라 발음이 '제로'가 되고 '지로'가 된다.[2] #[3] 이 성질은, 얼핏 생각하면 단순해 보이지만 매우 중요한 성질이다. 만약 이 성질이 없다면 방정식을 푸는 것이 불가능한데,

(x-a)\left(x-b\right)\cdots\cdots\left(x-z\right) = 0

등으로 아무리 깔끔하게 인수분해를 했어도 각각의 인수가

0

이라는 보장이 없기 때문. 실제로 수가 아니라 행렬에서의 방정식을 생각한다면, 이 성질이 성립하지 않기 때문에 이렇게 방정식을 풀 수 없다.