사용자:Acu/연습장(r96 Blame)

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+[[분류:정수론]]
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+[include(틀:정수론)]
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+[목차]
 == 개요 ==
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+'''메르센 수''' [math(M_n)]은 [math(2^n-1)] 꼴의 수를 의미하고, '''메르센 소수'''는 [math(2^2-1=3)]와 같이 메르센 소수 중 소수인 수들을 뜻한다. 메르센 소수는 주로 큰 소수를 찾기 위해 탐색하는 유형의 수들이고, 그런 만큼 현재까지 발견된 가장 큰 5개의 소수까지는 모두 메르센 소수이다.
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+== 수학적 성질 ==
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+ * [math(2^n-1)]이 소수라면 [math(n)]도 소수이다. 1이 아닌 두 자연수 [math(r)]와 [math(s)]을 두고 [math(x^r=a)]로 치환하면 [math(x^{rs}-1=a^s-1=(a-1)(a^{s-1}+a^{s-2}+\dots a+1))]로 인수분해가 되고, [math(rs)]는 합성수이므로 [math(2^n-1)]에서 [math(n)]이 합성수라면 대응하는 메르센 수도 합성수라는 의미이기 때문이다.
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+ * 짝수 완전수는 모두 [math(2^{n-1}M_{n})]의 형태를 가지므로 메르센 소수는 모두 짝수 완전수와 일대일 대응된다.
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+ * 이진수로 표현했을 때 [math(n)]개의 1만으로 이루어져 있다.
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+ * 홀수소수 [math(p)]를 지수로 갖는 메르센 수의 소인수 [math(q)]는 모두 [math(8k\pm 1)] 꼴이며, [math(q\equiv 1\pmod {2p})]를 만족한다.
 == 역사 ==
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+메르센 소수라는 이름은 17세기의 수학자 겸 철학자 [[마랭 메르센]]에서 왔다. 메르센은 1644년  [math(n)]이 257 이하일 때, [math(2^n-1)]이 소수가 되는 경우는 [math(n)]이 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257인 경우라는 것. 지수가 19인 메르센 수까지는 이미 알려져 있는 소수들이였고, [math(M_{31})][* 2147483647. 32비트 정수에서 표시할 수 있는 가장 큰 수이다.]이 소수라는 것까지는 사실이었지만 그 이후로는 정확성이 매우 떨어졌다. 애초에 메르센도 이것을 어떻게 알아냈는지에 대해 자세히 설명하지 않았고, 컴퓨터 등 검증할 수단도 발달하지 않았던 시대였으니 확인하기는 어려웠다. 틀린 부분은 지수가 61, 89, 107인 경우가 목록에서 빠져 있고 67, 257인 경우는 소수가 아님에도 포함되어 있다는 부분이다.
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+년에 [[레온하르트 오일러]]에 의해 [math(M_{31})]이 증명되었고, 100년이 넘는 기간 동안 가장 큰 메르센 소수의 자리를 지키다 에두아르 뤼카(Édouard Lucas)가 1876년에 [math(M_{127})]가 소수임을 증명했다. 그는 [math(M_{67})]이 소수가 아니라는 사실 또한 밝혀냈는데, 소인수를 찾아내지는 못했다. 그 뒤 1903년에 프랭크 넬슨 콜이 '큰 수의 소인수분해'라는 강연을 열었다. 미국 수학자 협회 회의실에서 그는 먼저 [math(M_{67})](147573952589676412927)을 써 내려갔다. 그 다음 [math(M_{67})]의 두 소인수(193707721,  761838257287)를 적은 후, 거의 한 시간 동안 아무 말도 하지않고 두 소인수를 곱해 M67과 같은 수를 얻었다. 그리고 그의 청중들은 우레 같은 박수를 보냈다고 한다. 이것을 증명하는 데에는 꼬박 3년 간의 일요일이 걸렸다고 한다. 1883년 이반 페르부신(Ivan Pervushin)이 [math(M_{61})], 1911년과 1914년에 랄프 어니스트 파워스(Ralph Ernest Powers)가 각각 [math(M_{89})]와 [math(M_{107})]를 발견함으로써 메르센의 추측에서 빠졌던 부분들이 모두 채워졌다.
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+== 목록 ==