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1964년 수학자 윌런스(C. P. Willans)가 제안한 공식. n에 자연수를 대입하면 n번째 소수로 만드는 공식이로, 다음과 같다.

먼저 $\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j}$는 어떤 자연수가 소수인지를 판별하는 역할이다. 윌슨의 정리에 따르면 $(j-1)!+1$는 $j$가 1이거나 소수일 때는 나누어떨어지고, $j$가 합성수일 때는 나누어떨어지지 않는다. 따라서 $\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j}$가 정수인지 아닌지를 확인함으로서 $j$가 소수인지를 판별할 수 있다.

그 다음으로 정수를 1, 정수가 아닌 수를 0으로 변환하기 위해 삼각함수를 이용하게 된다. 만약 $\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j}$에 $\pi$를 곱하고 코사인 함수에 대입한다면, $j$기 1이나 소수일 경우에는 1이나 -1이 되고, 합성수라면 그 사이의 수가 될 것이다. 이 수를 제곱해서 음수를 모두 양수로 만듦과 동시에 -1을 1로 변환하고 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 1을 제외한 모든 값들은 0이 된다. 따라서 $\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor$는 j가 1 혹은 소수라면 1이고, 아니라면 0이다.

이를 이용해서 $i$까지의 소수의 개수를 구하는 것이 가능하다. $i$까지 소수가 $n$개가 존재한다고 가정하면 $\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor$에 1부터 $i$까지 모든 자연수를 대입했을 때 결과가 1인 경우는 $j$가 소수인 경우의 수는 $n$회와 1인 경우 1회까지 $n+1$이 된다. 따라서 $\displaystyle \sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor$는 $i$까지의 소수의 수에 1을 더한 것임을 알 수 있다.

특정 수 이하의 소수의 수가 $n$ 미만이 아닌 경우가 나오게 하는 첫 번째 수가 $n$번째 소수이다. 예를 들어 3번째 소수를 구하고 싶다면 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 이상인 첫 번째 수는 3번째 소수인 5이다. $\displaystyle\left \lfloor(\frac{x}{a+1})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor$는 $x\geq a+1$일 때 1과 2 사이이고 아니라면 0과 1 사이이므로 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 각각 1과 0으로 변환된다. 여기서 $a$를 $i$까지의 소수의 수라고 생각하면 위 식은 $i$ 이하의 소수의 수보다 $n$이 (1 이상)더 크다면, 즉 $n$번째 소수가 $i$보다 크면 1이고 그렇지 않다면 0이다.

이제 이것을 시그마에 집어넣어 1부터 $2^{n}$까지 계산해 보자. n이 3이라고 하면 8까지 확인해 보면 될 것이다.