사용자:Acu/연습장(r94 판)

메르센 수 $M_n$은 $2^n-1$ 꼴의 수를 의미하고, 메르센 소수는 $2^2-1=3$와 같이 메르센 소수 중 소수인 수들을 뜻한다. 메르센 소수는 주로 큰 소수를 찾기 위해 탐색하는 유형의 수들이고, 그런 만큼 현재까지 발견된 가장 큰 5개의 소수까지는 모두 메르센 소수이다.

메르센 소수라는 이름은 17세기의 수학자 겸 철학자 마랭 메르센에서 왔다. 메르센은 1644년 $n$이 257 이하일 때, $2^n-1$이 소수가 되는 경우는 $n$이 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257인 경우라는 것. 지수가 19인 메르센 수까지는 이미 알려져 있는 소수들이였고, $M_{31}$[1]이 소수라는 것까지는 사실이었지만 그 이후로는 정확성이 매우 떨어졌다. 애초에 메르센도 이것을 어떻게 알아냈는지에 대해 자세히 설명하지 않았고, 컴퓨터 등 검증할 수단도 발달하지 않았던 시대였으니 확인하기는 어려웠다. 틀린 부분은 지수가 61, 89, 107인 경우가 목록에서 빠져 있고 67, 257인 경우는 소수가 아님에도 포함되어 있다는 부분이다.

1772년에 레온하르트 오일러에 의해 $M_{31}$이 증명되었고, 100년이 넘는 기간 동안 가장 큰 메르센 소수의 자리를 지키다 에두아르 뤼카(Édouard Lucas)가 1876년에 $M_{127}$가 소수임을 증명했다. 그는 $M_{67}$이 소수가 아니라는 사실 또한 밝혀냈는데, 소인수를 찾아내지는 못했다.