사용자:Acu/연습장(r67 Blame)

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Acu
+[목차]
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+[include(틀:정수론)]
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+== 개요 ==
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+년 수학자 윌런스(C. P. Willans)가 제안한 공식. n에 자연수를 대입하면 n번째 소수로 만드는 공식이로, 다음과 같다.
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+>[math(p_{n}=\displaystyle 1+\sum_{i=1}^{2^{n}}\left \lfloor(\frac{n}{\sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)]
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 == 유도 ==
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+먼저 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]는 어떤 자연수가 소수인지를 판별하는 역할이다. [[윌슨의 정리]]에 따르면 [math((j-1)!+1)]는  [math(j)]가 1이거나 소수일 때는 나누어떨어지고, [math(j)]가 합성수일 때는 나누어떨어지지 않는다. 따라서 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]가 정수인지 아닌지를 확인함으로서 [math(j)]가 소수인지를 판별할 수 있다.
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+그 다음으로 정수를 1, 정수가 아닌 수를 0으로 변환하기 위해 삼각함수를 이용하게 된다. 만약 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]에 [math(\pi)]를 곱하고 코사인 함수에 대입한다면, [math(j)]기 1이나 소수일 경우에는 1이나 -1이 되고, 합성수라면 그 사이의 수가 될 것이다. 이 수를 제곱해서 음수를 모두 양수로 만듦과 동시에 -1을 1로 변환하고 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 1을 제외한 모든 값들은 0이 된다. 따라서 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 j가 1 혹은 소수라면 1이고, 아니라면 0이다.
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+이를 이용해서 [math(i)]까지의 소수의 개수를 구하는 것이 가능하다. [math(i)]까지 소수가 [math(n)]개가 존재한다고 가정하면 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]에 1부터 [math(i)]까지 모든 자연수를 대입했을 때 결과가 1인 경우는 [math(j)]가 소수인 경우의 수는 [math(n)]회와 1인 경우 1회까지 [math(n+1)]이 된다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 [math(i)]까지의 소수의 수에 1을 더한 것임을 알 수 있다.
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+특정 수 이하의 소수의 수가 [math(n)] 미만이 아닌 경우가 나오게 하는 첫 번째 수가 [math(n)]번째 소수이다. 3번째 소수를 예로 들면 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 이상인 첫 번째 수는 3번째 소수인 5이다. [math(\displaystyle\left \lfloor(\frac{x}{a+1})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)]는 [math(x\geq a+1)]일 때 1과 2 사이이고 아니라면 0과 1 사이이므로 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 각각 1과 0으로 변환된다. 여기서 [math(a)]를 [math(i)]까지의 소수의 수라고 생각하면 위 식은 [math(i)] 이하의 소수의 수보다 [math(n)]이 (1 이상)더 크다면, 즉 [math(n)]번째 소수가 [math(i)]보다 크면 1이고 그렇지 않다면 0이다.
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+이제 이것을 시그마에 집어넣어 1부터 [math(2^{n})][* n번째 소수가 [math(2^{n})]보다 작다는 것은 증명되어 있으므로 1을 [math(n)]번째 소수만큼 더하지 못하는 경우는 없다.]까지 계산해 보면, [math(n)]번째 소수보다 1 작은 값까지 계속 1을 더하다가 [math(n)]번째 소수부터는 0을 더하기 시작할 것이다. n이 3이라고 하면 8까지 확인해 보면 될 것이다. 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 미만인 1~4까지는 1, 5~8까지는 0이므로 계산하면 [math(1+1+1+1+0+0+0+0)]으로, 3번째 소수보다 1 작다. 그러므로 윌런스의 공식에서 1을 뺀 값은 [math(n)]번째 소수보다 1 작다. 여기에 1을 더하면 된다.