•  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
더 보기

사용자:Acu/연습장(비교)

r57 vs r58
......
22
[include(틀:정수론)]
33
== 개요 ==
44
1964년 수학자 윌런스(C. P. Willans)가 제안한 공식. n에 자연수를 대입하면 n번째 소수로 만드는 공식이로, 다음과 같다.
5
>[math(p_{n}=\displaystyle 1+\sum_{i=1}^{2^{n}}\left \lfloor(\frac{n}{\sum_{i}^{j=1}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)]
5
>[math(p_{n}=\displaystyle 1+\sum_{i=1}^{2^{n}}\left \lfloor(\frac{n}{\sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)]
66
77
== 유도 ==
88
먼저 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]는 어떤 자연수가 소수인지를 판별하는 역할이다. [[윌슨의 정리]]에 따르면 [math((j-1)!+1)]는 [math(j)]가 1이거나 소수일 때는 나누어떨어지고, [math(j)]가 합성수일 때는 나누어떨어지지 않는다. 따라서 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]가 정수인지 아닌지를 확인함으로서 [math(j)]가 소수인지를 판별할 수 있다.
99
1010
그 다음으로 정수를 1, 정수가 아닌 수를 0으로 변환하기 위해 삼각함수를 이용하게 된다. 만약 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]에 [math(\pi)]를 곱하고 코사인 함수에 대입한다면, [math(j)]기 1이나 소수일 경우에는 1이나 -1이 되고, 합성수라면 그 사이의 수가 될 것이다. 이 수를 제곱해서 음수를 모두 양수로 만듦과 동시에 -1을 1로 변환하고 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 1을 제외한 모든 값들은 0이 된다. 따라서 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 j가 1 혹은 소수라면 1이고, 아니라면 0이다.
1111
12
12
이를 이용해서 [math(i)]까지의 소수의 개수를 구하는 것이 가능하다. [math(i)]까지 소수가 [math(n)]개가 존재한다고 가정하면 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]에 1부터 [math(i)]까지 모든 자연수를 대입했을 때 결과가 1인 경우는 [math(j)]가 소수인 경우 [math(n)]회와 1인 경우 1회까지 [math(i)]까지의 소수의 수에 1을 더한 횟수가 된다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 [math(i)]까지의 소수의 수에 1을 더한 것임을 알 수 있다.