호도법

호도법(弧度法)은 각도를 나타내는 단위계 중 하나로, 호의 길이와 반지름의 비를 이용하여 각도를 나타내는 방법이다. 단위는 라디안(radian, 기호: rad)을 사용한다.

반지름의 길이가 $r$인 원에서, 호의 길이가 $l$일 때 그 호에 대한 중심각 $\theta$를 다음과 같이 정의한다.

$\theta = \dfrac{l}{r}$

이때 $\theta$의 단위가 라디안(rad)이다. 라디안은 무차원 단위[1]이며, 1라디안은 반지름과 호의 길이가 같아지는 각도다.

원의 둘레는 $2\pi r$이므로, 360°에 해당하는 호의 길이가 $2\pi r$이다. 정의에 대입하면

$360° = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ (rad)}$

따라서 다음 관계가 성립한다.

$2\pi = 360°, \quad \pi = 180°$

이를 이용한 변환 공식은 다음과 같다.

$x° = x \times \dfrac{\pi}{180} \text{ (rad)}$

$\theta \text{ (rad)} = \theta \times \dfrac{180}{\pi} \text{ (°)}$

반지름의 길이가 $r$, 중심각이 $\theta$인 부채꼴에 대해 다음이 성립한다.

정의를 변형하면

$l = r\theta$

$l$는 호이다.

부채꼴의 넓이 $S$는 원의 넓이에서 중심각의 비율만큼 차지하므로

$S = \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{1}{2}r^2\theta$

호의 길이 $l = r\theta$를 이용하면 다음과 같이 변형할 수 있다.

$S = \dfrac{1}{2}rl$

미적분학에서 삼각함수의 도함수는 호도법을 사용할 때만 간결하게 표현된다.

$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1$

이 극한은 $\theta$가 라디안일 때만 성립한다. 만약 육십분법(°)을 사용하면

$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta°}{\theta°} = \dfrac{\pi}{180}$

이 되어 도함수 공식에 $\dfrac{\pi}{180}$이 붙는 불편함이 생기기 때문이다. 따라서 고등학교 수학Ⅱ[2] 이상에서는 호도법이 기본 단위가 된다.