집합론

집합을 기본 개념으로 삼아 수학의 구조를 체계화하는 이론이다. 원소들의 모임을 대상으로 포함 관계, 연산, 대응 등을 연구하며, 현대 수학의 기초를 이루는 분야로 평가된다. 19세기 말 게오르크 칸토어에 의해 본격적으로 정립되었으며, 무한의 개념을 엄밀히 다루었다는 점에서 큰 의의를 가진다. 오늘날 대부분의 수학 이론은 집합론적 언어로 서술된다.

부분집합, 합집합, 교집합, 여집합 등의 기본 연산을 정의하고, 함수와 관계 또한 집합의 관점에서 설명한다. 20세기에는 러셀의 역설과 같은 모순이 제기되면서 이를 해결하기 위해 공리적 집합론이 발전하였다. 대표적으로 체르멜로-프렝켈 공리계와 선택 공리를 포함한 체계가 널리 사용된다. 또한 기수와 서수 이론을 통해 서로 다른 무한의 크기를 비교하는 연구도 이루어진다.