삼수선의 정리

삼수선의 정리(三垂線定理, Theorem of Three Perpendiculars)는 공간에서 직선과 평면의 수직 관계를 판별하는 정리이다. 평면 위의 직선과 그 평면에 대한 수선의 발, 그리고 공간의 한 점을 연결하는 세 직선 사이의 수직 관계를 다룬다.

삼수선의 정리를 서술하기 위한 기본 설정은 다음과 같다.

$\text{PO} \perp \alpha$, $\text{OH} \perp l$이면 $\text{PH} \perp l$이다.

즉, 평면에 수직인 직선($\text{PO}$)이 있고, 평면 위의 직선 $l$에 평면 위에서 수선($\text{OH}$)을 내리면, 공간의 점 $\text{P}$와 수선의 발 $\text{H}$를 이은 선분도 $l$에 수직이다.

$\text{PO} \perp \alpha$, $\text{PH} \perp l$이면 $\text{OH} \perp l$이다.

즉, 평면에 수직인 직선($\text{PO}$)이 있고, 공간의 점 $\text{P}$와 수선의 발을 이은 선분 $\text{PH}$가 $l$에 수직이면, 평면 위의 직선 $\text{OH}$도 $l$에 수직이다.

$\text{PO} \perp \alpha$, $\text{O, H} \in \alpha$, $\text{H} \in l \subset \alpha$일 때,

$\text{OH} \perp l \iff \text{PH} \perp l$

$\text{PO} \perp \alpha$이므로 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선에 $\text{PO}$가 수직이며, 따라서

$\text{PO} \perp l \quad \cdots\ (1)$

이다.

또한 조건에서

$\text{OH} \perp l \quad \cdots\ (2)$

이다. $l$은 직선이고, $\text{PO}$와 $\text{OH}$는 점 $\text{H}$를 포함하는 평면 $\text{POH}$ 위의 두 직선인데, $(1)$과 $(2)$에 의해 $l$은 이 평면 위의 두 직선 $\text{PO}$, $\text{OH}$ 모두에 수직이다.

따라서 $l$은 두 직선 $\text{PO}$, $\text{OH}$가 이루는 평면 $\text{POH}$ 전체에 수직이다. 특히 $\text{PH}$도 이 평면 위에 있으므로

$\text{PH} \perp l$

이 성립한다.

$\text{PO} \perp \alpha$이므로

$\text{PO} \perp l \quad \cdots\ (1)$

또한 조건에서

$\text{PH} \perp l \quad \cdots\ (2)$

이다. $(1)$과 $(2)$에 의해 $l$은 점 $\text{H}$를 지나는 두 직선 $\text{PO}$, $\text{PH}$ 모두에 수직이다. 따라서 $l$은 두 직선 $\text{PO}$, $\text{PH}$가 이루는 평면 전체에 수직이다.

$\text{OH}$는 이 평면 위에 있으므로

$\text{OH} \perp l$

이 성립한다.

공간의 한 점 $\text{P}$에서 평면 $\alpha$에 수선을 내리면 발 $\text{O}$가 생긴다. 이때 $\text{P}$에서 평면 위의 임의의 직선 $l$에 가장 가까운 점(수선의 발)을 찾으려면, 반드시 $\text{O}$에서 $l$에 수선을 내린 점 $\text{H}$가 그 점이 된다.

점에서 직선 또는 평면까지의 최단 거리를 구할 때 삼수선의 정리를 이용하면 수선의 발의 위치를 정확히 결정할 수 있다.

공간의 도형을 평면에 정사영할 때, 원래 도형과 정사영의 관계를 규명하는 데 삼수선의 정리가 사용된다. 직선의 정사영은 해당 직선에서 평면에 수선을 내린 자취와 연관되므로, 이 정리로 수직 관계를 확인한다.

공간에서 한 삼각형을 평면에 정사영했을 때의 넓이 관계도 삼수선의 정리로부터 유도된다. 정사영된 도형의 넓이 $S'$와 원래 도형의 넓이 $S$ 사이에는

$S' = S\cos\theta$

가 성립하는데($\theta$는 두 평면이 이루는 각), 이 관계를 유도하는 데 삼수선의 정리가 사용된다.

삼수선의 정리는 이면각의 크기를 구할 때 사용된다.

두 평면이 만나는 교선 $l$이 있을 때, 이면각의 크기는 교선 $l$에 수직인 직선을 각 평면에서 내려 이루는 각도로 정의된다. 삼수선의 정리를 이용하면, 공간의 한 점에서 교선에 수선을 내린 뒤 각 평면 위에서의 수선 방향을 정확히 결정할 수 있어 이면각을 구하는 데 사용된다.