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| 1 | [[분류:기하학]] |
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| 2 | [include(틀:기하학·위상수학)] |
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| 4 | [목차] |
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| 5 | == 개요 == |
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| 6 | {{{+1 [[特]][[殊]][[角]] · special angle}}} |
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| 8 | [[각]] 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 [[미적분]]을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다. |
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| 10 | 크게 [math([0, 2\pi])]([math(\pi)]는 [[원주율]])를 [[주치]]로 하는 범위 내의 실수 각과 [[허수]] 각을 다루며, 특수각의 [[삼각함수]] 값도 서술한다. |
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| 12 | ||<bgcolor=#F5F5F5,#DDD>[[파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png.webp]]|| |
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| 14 | [math(\sin\theta=\pm\dfrac{\sqrt n}2\;(n=0, 1, 2, 3, 4) )]이 성립하는 각을 도식화한 것. 나머지는 유도 가능. |
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| 16 | == [[0]] == |
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| 17 | 말 그대로 '''각도가 0'''이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 [[삼각비|삼각'''비''']]는 우극한이 존재하나, [[삼각함수|삼각'''함수''']]값은 존재한다. |
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| 18 | * [math(\sin0=0)] |
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| 19 | * [math(\cos0=1)] |
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| 20 | * [math(\tan0=0)] |
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| 21 | * [math(\csc0)]은 '''[[0으로 나누기|정의되지 않는다.]]''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 22 | * [math(\sec0=1)] |
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| 23 | * [math(\cot0)]은 '''[[0으로 나누기|정의되지 않는다.]]''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 25 | == π/6 (30°) == |
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| 26 | 정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. |
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| 27 | * [math(\sin\dfrac\pi6=\dfrac12)] |
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| 28 | * [math(\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2)] |
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| 29 | * [math(\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3})] |
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| 30 | * [math(\csc\dfrac\pi6=2)] |
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| 31 | * [math(\sec\dfrac\pi6=\dfrac2{\sqrt3})] |
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| 32 | * [math(\cot\dfrac\pi6=\sqrt3)] |
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| 33 | |
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| 34 | == π/4 (45°) == |
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| 35 | 정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[* 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 [[포물선 운동]]을 하게 했을 때 초기속력을 [math(v_0)], 발사각을 [math(\theta)], 중력가속도를 [math(g)], 입자의 최대 수평도달거리를 [math(R)]이라 하면 [math(R=\dfrac{{v_0}^2\sin2\theta}g)]이다. [math(0\degree<\theta<90\degree)]일 때 [math(0<\sin2\theta\le1)]이고 [math(\sin2\theta=1)]이 되도록 하는 [math(2\theta=90\degree)]이므로 [math(\theta=45\degree)]이다.][* 공기 저항이 있는 현실에서는 [math(\dfrac\pi4)]보다 낮게 던져야 더 멀리 날아가며 대부분 30-45도 사이로 던져야한다.] |
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| 36 | * [math(\sin\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2})] |
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| 37 | * [math(\cos\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2})] |
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| 38 | * [math(\tan\dfrac\pi4=1)] |
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| 39 | * [math(\csc\dfrac\pi4=\sqrt{2})] |
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| 40 | * [math(\sec\dfrac\pi4=\sqrt{2})] |
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| 41 | * [math(\cot\dfrac\pi4=1)] |
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| 42 | |
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| 43 | == π/3 (60°) == |
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| 44 | 정삼각형의 한 내각의 크기다. |
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| 45 | * [math(\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2)] |
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| 46 | * [math(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12)] |
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| 47 | * [math(\tan\dfrac\pi3=\sqrt3)] |
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| 48 | * [math(\csc\dfrac\pi3=\dfrac2{\sqrt3})] |
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| 49 | * [math(\sec\dfrac\pi3=2)] |
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| 50 | * [math(\cot\dfrac\pi3=\dfrac1{\sqrt3})] |
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| 51 | |
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| 52 | == [anchor(직각)]π/2 (90°, 직각) == |
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| 53 | {{{+1 [[直]][[角]] · right angle}}} |
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| 54 | |
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| 55 | '''가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각'''으로, 다름 아닌 [[직각삼각형]]과 [[직사각형]]을 정의하기 위한 각이다. [[원(도형)|원]]의 중심과 [[접선]]이 이루는 각도 이 각이며, [[삼각형의 오심#s-5|수심]]도 이것으로 정의된다. |
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| 56 | |
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| 57 | [[삼각함수]]의 정의도 [[직각삼각형|이 각을 끼고 있는 삼각형]]의 [[변#s-3]]의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관없는 [[미적분]]에서 더 많이 쓰여서 그렇지... |
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| 58 | * [math(\sin\dfrac\pi2=1)] |
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| 59 | * [math(\cos\dfrac\pi2=0)] |
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| 60 | * [math(\tan\dfrac\pi2)]는 '''정의되지 않는다.'''[math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 61 | * [math(\csc\dfrac\pi2=1)] |
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| 62 | * [math(\sec\dfrac\pi2)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 63 | * [math(\cot\dfrac\pi2=0)] |
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| 64 | |
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| 65 | == 2π/3 (120°) == |
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| 66 | 정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다. |
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| 67 | |
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| 68 | [[라그랑주점]], [[삼차방정식]][* [[1의 거듭제곱근/세제곱근|1의 세제곱근]]이 120°의 삼각함수의 값 두 개에서 유도되기 때문이다.[br][math(\sqrt[3]1=1~{\sf or}~\cos120\degree\pm i\sin120\degree)]]을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다. |
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| 69 | * [math(\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2)] |
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| 70 | * [math(\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12)] |
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| 71 | * [math(\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3)] |
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| 72 | * [math(\csc\dfrac{2\pi}3=\dfrac2{\sqrt3})] |
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| 73 | * [math(\sec\dfrac{2\pi}3=-2)] |
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| 74 | * [math(\cot\dfrac{2\pi}3=-\dfrac1{\sqrt3})] |
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| 75 | |
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| 76 | == 3π/4 (135°) == |
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| 77 | 정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다. 정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다. |
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| 78 | * [math(\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac1{\sqrt2})] |
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| 79 | * [math(\cos\dfrac{3\pi}4=-\dfrac1{\sqrt2})] |
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| 80 | * [math(\tan\dfrac{3\pi}4=-1)] |
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| 81 | * [math(\csc\dfrac{3\pi}4=\sqrt2)] |
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| 82 | * [math(\sec\dfrac{3\pi}4=-\sqrt2)] |
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| 83 | * [math(\cot\dfrac{3\pi}4=-1)] |
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| 84 | |
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| 85 | == 5π/6 (150°) == |
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| 86 | 정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다. |
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| 87 | * [math(\sin\dfrac{5\pi}6=\dfrac12)] |
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| 88 | * [math(\cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2)] |
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| 89 | * [math(\tan\dfrac{5\pi}6=-\dfrac1{\sqrt3})] |
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| 90 | * [math(\csc\dfrac{5\pi}6=2)] |
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| 91 | * [math(\sec\dfrac{5\pi}6=-\dfrac2{\sqrt3})] |
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| 92 | * [math(\cot\dfrac{5\pi}6=-\sqrt3)] |
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| 93 | |
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| 94 | == [anchor(평각)][[원주율|π (180°, 평각)]] == |
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| 95 | [include(틀:다른 뜻, 넘어옴1=180도, 설명1=벤의 노래, 문서명1=180도(벤))] |
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| 96 | [include(틀:관련 문서, 문서명1=원주율)] |
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| 97 | {{{+1 [[平]][[角]] · straight angle}}} |
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| 98 | |
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| 99 | 평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "[[상극|완전히 반대되는 것]]"을 가리키는 말로도 쓰인다. |
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| 100 | |
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| 101 | 주치 구간의 절반 지점이며, 다름 아닌 '''[[오일러 등식]]'''에 이 각이 들어간다. |
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| 102 | * [math(\sin\pi=0)] |
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| 103 | * [math(\cos\pi=-1)] |
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| 104 | * [math(\tan\pi=0)] |
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| 105 | * [math(\csc\pi)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 106 | * [math(\sec\pi=-1)] |
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| 107 | * [math(\cot\pi)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 108 | |
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| 109 | == 3π/2 (270°) == |
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| 110 | 직사각형의 바깥쪽 각이다. |
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| 111 | * [math(\sin\dfrac{3\pi}2=-1)] |
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| 112 | * [math(\cos\dfrac{3\pi}2=0)] |
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| 113 | * [math(\tan\dfrac{3\pi}2)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 114 | * [math(\csc\dfrac{3\pi}2=-1)] |
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| 115 | * [math(\sec\dfrac{3\pi}2)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
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| 116 | * [math(\cot\dfrac{3\pi}2=0)] |
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| 117 | |
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| 118 | == [[새원주율|2π, τ (360°)]] == |
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| 119 | [include(틀:관련 문서, 문서명1=타우(수학))] |
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| 120 | 한 [[바퀴(도구)#s-4|바퀴]] 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치([[周]][[値]])라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 [math(2 \pi)]로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다. |
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| 121 | * [math(\sin2\pi=0)] |
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| 122 | * [math(\cos2\pi=1)] |
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| 123 | * [math(\tan2\pi=0)] |
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| 124 | * [math(\csc2\pi)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
|---|
| 125 | * [math(\sec2\pi=1)] |
|---|
| 126 | * [math(\cot2\pi)]는 '''정의되지 않는다.''' [math(\biggl(\dfrac10\biggr))] |
|---|
| 127 | |
|---|
| 128 | == [[작도]] 가능한 각도 == |
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| 129 | 정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30°, 60°, 45°가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다. |
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| 130 | * 15°: 45°와 30°가 작도가 가능하므로, [[삼각함수의 덧셈정리|이 둘의 차이]]를 이용하면 15°도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15°, 75°도 특수각 범주에 넣기도 한다. |
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| 131 | * [math(\sin\dfrac\pi{12}=\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4)] |
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| 132 | * [math(\cos\dfrac\pi{12}=\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4)] |
|---|
| 133 | * 72°: [[정오각형]]은 작도가 가능하다. 그러므로 360°/5=72°는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.[* 아래 식에서 [math(\varphi)]는 [[황금비]]이다.] |
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| 134 | * [math(\sin\dfrac\pi{10}=\cos\dfrac{2\pi}5=\dfrac{\sqrt5-1}4=\dfrac1{2\varphi})] |
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| 135 | * [math(\sin\dfrac\pi5=\cos\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{3-\varphi}}2)] |
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| 136 | * [math(\sin\dfrac{3\pi}{10}=\cos\dfrac\pi5=\dfrac{\sqrt5+1}4=\dfrac\varphi2)] |
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| 137 | * [math(\sin\dfrac{2\pi}5=\cos\dfrac\pi{10}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}2)] |
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| 138 | * 3°: 72°와 60°가 작도 가능하므로, 12° 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6°를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3° 역시 작도 가능하다. 간단히는 72°와 75°를 작도해도 된다. 다시 말해 3°의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다. |
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| 139 | * 1.5°, 0.75° , 0.375° ... : 3°를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다. |
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| 140 | * [math(\dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{360\degree}{17})] (약 21.1764705882°): [[카를 프리드리히 가우스#s-4.1|정17각형]]이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, [[페르마 소수]]에 해당하는 정다각형과 그의 2^^n^^배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[* 정15(=3×5)각형, 정408(=2^^3^^×3×17)각형, 정8224(=2^^5^^×257)각형 등등]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[* 정27(=3^^3^^)각형, 정225(=3^^2^^×5^^2^^)각형, 정1156(=2^^2^^×17^^2^^)각형 등등]은 작도 불가능하다. 이들은 유클리드 작도일때 얘기이며 종이접기나 뉴시스 작도로 범위를 넓히면 7, 9, 11, 13, 17, 19각형 등도 작도 가능하다. 다만 종이접기나 뉴시스 작도로도 23각형 등 작도가 불가능한 경우도 있다. 다만 유클리드, 종이접기, 뉴시스 작도가 불가능하더라도 root of unity의 성질에 따라서 모든 다각형은 거듭제곱근의 꼴로 나타낼 수는 있다. 다만 작도 가능한 수에서는 비교적 깔끔한 형태로 나타낼 수 있지만, 작도 불가능한 수에서는 [[환원 불능]]이라고 해서 값은 실수임이 확실하지만 허수단위를 없앨 수 없는 끔찍한 일이 벌어진다. |
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| 141 | |
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| 142 | === [[3대 작도 불능 문제#s-3.1|3등분 작도]]가 가능한 각도 === |
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| 143 | 특수각 중 45도, 72도, 90도 등은 작도가 가능하다. 그러나 30도, 60도 등은 작도가 불가능하다. |
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| 144 | |
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| 145 | == 허수 단위 [[허수|i]] == |
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| 146 | 복소삼각함수를 이용해 허수 각을 생각해 볼 수도 있다. 허수를 취한 삼각함수는 [[쌍곡선 함수]]로 나타낼 수 있다. 아래 항등식에서 [math(e)]는 [[자연로그의 밑]]이다. |
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| 147 | * [math(\sin i=i\sinh1=\dfrac{e-e^{-1}}2i=\dfrac{e^2-1}{2e}i)] |
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| 148 | * [math(\cos i=\cosh1=\dfrac{e+e^{-1}}2=\dfrac{e^2+1}{2e})] |
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| 149 | * [math(\tan i=\dfrac{i\sinh1}{\cosh1}=\dfrac{e^2-1}{e^2+1}i)] |
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| 150 | * [math(\csc i=\dfrac1{i\sinh1}=-\dfrac2{e-e^{-1}}i=-\dfrac{2e}{e^2-1}i)] |
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| 151 | * [math(\sec i=\dfrac1{\cosh1}=\dfrac2{e+e^{-1}}=\dfrac{2e}{e^2+1})] |
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| 152 | * [math(\cot i=\dfrac{\cosh1}{i\sinh1}=-\dfrac{e^2+1}{e^2-1}i)] |
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| 153 | |
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| 154 | == 관련 문서 == |
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| 155 | * [[삼각함수]] |
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| 156 | * [[환원 불능]] - 특수각이 아닌 각인 경우 각 혹은 삼각함수의 값이 환원 불능이다. |
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