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삼수선의 정리(r1 Blame)

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Swim
1[[분류:수학]][[분류:기하학]]
2
3[목차]
4== 개요 ==
5'''삼수선의 정리'''(三垂線定理, Theorem of Three Perpendiculars)는 [[공간]]에서 [[직선]]과 [[평면]]의 수직 관계를 판별하는 정리이다. 평면 위의 직선과 그 평면에 대한 [[수선의 발]], 그리고 공간의 한 점을 연결하는 세 직선 사이의 수직 관계를 다룬다.
6
7== 삼수선의 정리 ==
8=== 설정 ===
9삼수선의 정리를 서술하기 위한 기본 설정은 다음과 같다.
10
11 * 평면 [math(\alpha)]가 있다.
12 * 점 [math(\text{O})]는 평면 [math(\alpha)] 위의 점이다.
13 * 점 [math(\text{P})]는 평면 [math(\alpha)] 위에 있지 않은 점(평면 밖의 점)이다.
14 * [math(\text{PO} \perp \alpha)], 즉 [math(\text{PO})]는 평면 [math(\alpha)]의 수선이다.[* [math(\text{PO})]가 반드시 수직일 필요는 없다. 정리의 두 가지 방향(정방향, 역방향)에 따라 조건과 결론이 달라진다. 아래 참조.]
15 * 직선 [math(l)]은 평면 [math(\alpha)] 위에 있는 직선이다.
16 * 점 [math(\text{H})]는 점 [math(\text{O})]에서 직선 [math(l)]에 내린 수선의 발, 즉 [math(\text{OH} \perp l)]이다.
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18=== 정방향 ===
19[math(\text{PO} \perp \alpha)], [math(\text{OH} \perp l)]이면 [math(\text{PH} \perp l)]이다.
20
21즉, 평면에 수직인 직선([math(\text{PO})])이 있고, 평면 위의 직선 [math(l)]에 평면 위에서 수선([math(\text{OH})])을 내리면, 공간의 점 [math(\text{P})]와 수선의 발 [math(\text{H})]를 이은 선분도 [math(l)]에 수직이다.
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23=== 역방향 ===
24[math(\text{PO} \perp \alpha)], [math(\text{PH} \perp l)]이면 [math(\text{OH} \perp l)]이다.
25
26즉, 평면에 수직인 직선([math(\text{PO})])이 있고, 공간의 점 [math(\text{P})]와 수선의 발을 이은 선분 [math(\text{PH})]가 [math(l)]에 수직이면, 평면 위의 직선 [math(\text{OH})]도 [math(l)]에 수직이다.
27
28=== 요약 ===
29[math(\text{PO} \perp \alpha)], [math(\text{O, H} \in \alpha)], [math(\text{H} \in l \subset \alpha)]일 때,
30
31[math(\text{OH} \perp l \iff \text{PH} \perp l)]
32
33== 증명 ==
34=== 정방향 증명 ===
35[math(\text{PO} \perp \alpha)]이므로 평면 [math(\alpha)] 위의 모든 직선에 [math(\text{PO})]가 수직이다. 따라서
36
37[math(\text{PO} \perp l \quad \cdots\ (1))]
38
39또한 조건에서
40
41[math(\text{OH} \perp l \quad \cdots\ (2))]
42
43이다. [math(l)]은 직선이고, [math(\text{PO})]와 [math(\text{OH})]는 점 [math(\text{H})]를 포함하는 평면 [math(\text{POH})] 위의 두 직선인데, [math((1))]과 [math((2))]에 의해 [math(l)]은 이 평면 위의 두 직선 [math(\text{PO})], [math(\text{OH})] 모두에 수직이다.
44
45따라서 [math(l)]은 두 직선 [math(\text{PO})], [math(\text{OH})]가 이루는 평면 [math(\text{POH})] 전체에 수직이다. 특히 [math(\text{PH})]도 이 평면 위에 있으므로
46
47[math(\text{PH} \perp l)]
48
49이 성립한다.
50
51=== 역방향 증명 ===
52[math(\text{PO} \perp \alpha)]이므로
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54[math(\text{PO} \perp l \quad \cdots\ (1))]
55
56또한 조건에서
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58[math(\text{PH} \perp l \quad \cdots\ (2))]
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60이다. [math((1))]과 [math((2))]에 의해 [math(l)]은 점 [math(\text{H})]를 지나는 두 직선 [math(\text{PO})], [math(\text{PH})] 모두에 수직이다. 따라서 [math(l)]은 두 직선 [math(\text{PO})], [math(\text{PH})]가 이루는 평면 전체에 수직이다.
61
62[math(\text{OH})]는 이 평면 위에 있으므로
63
64[math(\text{OH} \perp l)]
65
66이 성립한다.
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68== 활용 ==
69=== 의미 ===
70공간의 한 점 [math(\text{P})]에서 평면 [math(\alpha)]에 수선을 내리면 발 [math(\text{O})]가 생긴다. 이때 [math(\text{P})]에서 평면 위의 임의의 직선 [math(l)]에 가장 가까운 점(수선의 발)을 찾으려면, 반드시 [math(\text{O})]에서 [math(l)]에 수선을 내린 점 [math(\text{H})]가 그 점이 된다.
71
72=== 공간에서의 수직 거리 ===
73점에서 직선 또는 평면까지의 최단 거리를 구할 때 삼수선의 정리를 이용하면 수선의 발의 위치를 정확히 결정할 수 있다.
74
75=== 정사영 ===
76공간의 도형을 평면에 정사영할 때, 원래 도형과 정사영의 관계를 규명하는 데 삼수선의 정리가 사용된다. 직선의 정사영은 해당 직선에서 평면에 수선을 내린 자취와 연관되므로, 이 정리로 수직 관계를 확인한다.
77
78=== 삼각형의 넓이 비 ===
79공간에서 한 삼각형을 평면에 정사영했을 때의 넓이 관계도 삼수선의 정리로부터 유도된다. 정사영된 도형의 넓이 [math(S')]와 원래 도형의 넓이 [math(S)] 사이에는
80
81[math(S' = S\cos\theta)]
82
83가 성립하는데([math(\theta)]는 두 평면이 이루는 각), 이 관계를 유도하는 데 삼수선의 정리가 사용된다.
84
85=== [[이면각]]과의 관계 ===
86삼수선의 정리는 이면각의 크기를 구할 때 사용된다.
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88두 평면이 만나는 교선 [math(l)]이 있을 때, 이면각의 크기는 교선 [math(l)]에 수직인 직선을 각 평면에서 내려 이루는 각도로 정의된다. 삼수선의 정리를 이용하면, 공간의 한 점에서 교선에 수선을 내린 뒤 각 평면 위에서의 수선 방향을 정확히 결정할 수 있어 이면각을 구하는 데 사용된다.