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| 1 | [목차] |
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| 2 | [include(틀:정수론)] |
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| 3 | == 개요 == |
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| 4 | 1964년 수학자 윌런스(C. P. Willans)가 제안한 공식. n에 자연수를 대입하면 n번째 소수로 만드는 공식이로, 다음과 같다. |
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| 5 | >[math(p_{n}=\displaystyle 1+\sum_{i=1}^{2^{n}}\left \lfloor(\frac{n}{\sum_{i}^{j=1}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)] |
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| 7 | == 유도 == |
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| 8 | 먼저 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]는 어떤 자연수가 소수인지를 판별하는 역할이다. [[윌슨의 정리]]에 따르면 [math((j-1)!+1)]는 [math(j)]가 1이거나 소수일 때는 나누어떨어지고, [math(j)]가 합성수일 때는 나누어떨어지지 않는다. 따라서 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]가 정수인지 아닌지를 확인함으로서 [math(j)]가 소수인지를 판별할 수 있다. |
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| 10 | 그 다음으로 정수를 1, 정수가 아닌 수를 0으로 변환하기 위해 삼각함수를 이용하게 된다. 만약 [math(\displaystyle\frac{(j-1)!+1}{j})]에 [math(\pi)]를 곱하고 코사인 함수에 대입한다면, [math(j)]기 1이나 소수일 경우에는 1이나 -1이 되고, 합성수라면 그 사이의 수가 될 것이다. 이 수를 제곱해서 음수를 모두 양수로 만듦과 동시에 -1을 1로 변환하고 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 1을 제외한 모든 값들은 0이 된다. 따라서 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 j가 1 혹은 소수라면 1이고, 아니라면 0이다. |
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