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| 1 | [[분류:정수론]] |
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| 2 | [목차] |
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| 3 | == 개요 == |
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| 4 | '''메르센 수''' [math(M_n)]은 [math(2^n-1)] 꼴의 수를 의미하고, '''메르센 소수'''는 [math(2^2-1=3)]와 같이 메르센 소수 중 소수인 수들을 뜻한다. 메르센 소수는 주로 큰 소수를 찾기 위해 탐색하는 유형의 수들이고, 그런 만큼 현재까지 발견된 가장 큰 5개의 소수까지는 모두 메르센 소수이다. |
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| 6 | == 수학적 성질 == |
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| 7 | * [math(2^n-1)]이 소수라면 [math(n)]도 소수이다. 1이 아닌 두 자연수 [math(r)]와 [math(s)]을 두고 [math(x^r=a)]로 치환하면 [math(x^{rs}-1=a^s-1=(a-1)(a^{s-1}+a^{s-2}+\dots a+1))]로 인수분해가 되고, [math(rs)]는 합성수이므로 [math(2^n-1)]에서 [math(n)]이 합성수라면 대응하는 메르센 수도 합성수라는 의미이기 때문이다. |
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| 8 | * 짝수 완전수는 모두 [math(2^{n-1}M_{n})]의 형태를 가지므로 메르센 소수는 모두 짝수 완전수와 일대일 대응된다. |
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| 9 | * 이진수로 표현했을 때 [math(n)]개의 1만으로 이루어져 있다. |
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| 10 | * 3을 제외한 메르센 수의 소인수 [math(q)]는 모두 [math(8k\pm 1)] 꼴이며, [math(q\equiv 1\pmod {2p})]를 만족한다. |
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