이차방정식

이차방정식(二次方程式, Quadratic Equation)은 최고차항의 차수가 2인 방정식이다. 일반형으로 다음과 같이 표현한다.

$ax^2+bx+c=0 \quad (a \neq 0)$

$a=0$이면 이차항이 사라져 이차방정식이 성립하지 않으므로 $a \neq 0$은 필수 조건이다. 이차방정식의 근 최대 2개이며, 실수 범위에서는 0개, 1개, 또는 2개의 근을 가진다.

좌변을 두 일차식의 곱으로 나타내어 해를 구하는 방법이다.

$ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

$AB=0 \Rightarrow A=0 \text{ 또는 } B=0$임을 이용하면 $x=\alpha$ 또는 $x=\beta$임을 얻는다.

예시 문제) $x^2-5x+6=0$을 풀어라.

$(x-2)(x-3)=0$

$\therefore x=2 \text{ 또는 } x=3$

인수분해가 항상 가능한 것은 아니므로, 인수분해가 되지 않는 경우 완전제곱식 또는 근의 공식을 이용한다.

이차방정식을 $(x-p)^2=q$ 꼴로 변형하여 해를 구하는 방법이다. $a=1$인 경우를 기준으로 절차는 다음과 같다.

예시 문제) $x^2-6x+7=0$을 풀어라.

$x^2-6x = -7$

$x^2-6x+9 = -7+9$

$(x-3)^2 = 2$

$x-3 = \pm\sqrt{2}$

$\therefore x = 3 \pm \sqrt{2}$

완전제곱식 풀이를 일반화한 것으로, $ax^2+bx+c=0$에서 $x$를 직접 구하는 공식이다.

$ax^2+bx+c=0$의 양변을 $a$로 나누면

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

완전제곱식으로 변형하면

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

양변에 제곱근을 취하면

$\boxed{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

이와 같이 유도할 수 있는데, 이를 근의 공식이라 한다. 모든 이차방정식의 근을 구할 수 있는 공식이다.

$b$가 짝수인 경우, 즉 $b=2b'$으로 치환할 수 있는 경우 계산이 간편해진다.

$ax^2+2b'x+c=0$일 때

$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a}$

근의 공식의 근호 안에 있는 $b^2-4ac$를 판별식이라 하고 $D$로 표기한다.

$D = b^2-4ac$

판별식의 부호에 따라 근의 개수와 종류가 결정된다.

$b=2b'$인 경우 판별식을 $\dfrac{D}{4}$로 간략화할 수 있다.

$\dfrac{D}{4} = b'^2-ac$

판별 기준은 $D$와 동일하다. $\dfrac{D}{4} > 0$, $=0$, $< 0$에 따라 동일하게 판별한다.

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 인수분해에 의해

$ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta) = a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}$

양변의 계수를 비교하면 다음이 성립한다.

$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

두 수 $\alpha$, $\beta$를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식을 구할 때는 다음을 이용한다.

$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$

대칭식[2]의 값은 근과 계수의 관계만으로 구할 수 있다. 예를 들어

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta$

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 실근은 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표와 같다.