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분류

1. 개요2. 수학적 성질

1. 개요[편집]

메르센 수

M_n

은

2^n-1

꼴의 수를 의미하고, 메르센 소수는

2^2-1=3

와 같이 메르센 소수 중 소수인 수들을 뜻한다. 메르센 소수는 주로 큰 소수를 찾기 위해 탐색하는 유형의 수들이고, 그런 만큼 현재까지 발견된 가장 큰 5개의 소수까지는 모두 메르센 소수이다.

$2^n-1$ 이 소수라면 $n$ 도 소수이다. 1이 아닌 두 자연수 $r$ 와 $s$ 을 두고 $x^r=a$ 로 치환하면 $x^{rs}-1=a^s-1=(a-1)(a^{s-1}+a^{s-2}+\dots a+1)$ 로 인수분해가 되고, $rs$ 는 합성수이므로 $2^n-1$ 에서 $n$ 이 합성수라면 대응하는 메르센 수도 합성수라는 의미이기 때문이다.
짝수 완전수는 모두 $2^{n-1}M_{n}$ 의 형태를 가지므로 메르센 소수는 모두 짝수 완전수와 일대일 대응된다.
이진수로 표현했을 때 $n$ 개의 1만으로 이루어져 있다.
홀수소수 $p$ 를 지수로 갖는 메르센 수의 소인수 $q$ 는 모두 $8k\pm 1$ 꼴이며, $q\equiv 1\pmod {2p}$ 를 만족한다.