| r67 vs r68 | ||
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| 12 | 12 | 이를 이용해서 [math(i)]까지의 소수의 개수를 구하는 것이 가능하다. [math(i)]까지 소수가 [math(n)]개가 존재한다고 가정하면 [math(\displaystyle\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]에 1부터 [math(i)]까지 모든 자연수를 대입했을 때 결과가 1인 경우는 [math(j)]가 소수인 경우의 수는 [math(n)]회와 1인 경우 1회까지 [math(n+1)]이 된다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{i}\left \lfloor\cos^2\pi\frac{(j-1)!+1}{j}\right \rfloor)]는 [math(i)]까지의 소수의 수에 1을 더한 것임을 알 수 있다. |
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| 14 | 특정 수 이하의 소수의 수가 [math(n)] 미만이 아닌 경우가 나오게 하는 첫 번째 수가 [math(n)]번째 소수이다. 3번째 소수를 예로 들면 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 이상인 첫 번째 수는 3번째 소수인 5이다. [math(\displaystyle\left \lfloor(\frac{ | |
| 14 | 특정 수 이하의 소수의 수가 [math(n)] 미만이 아닌 경우가 나오게 하는 첫 번째 수가 [math(n)]번째 소수이다. 3번째 소수를 예로 들면 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 이상인 첫 번째 수는 3번째 소수인 5이다. [math(\displaystyle\left \lfloor(\frac{n}{a+1})^{\frac{1}{n}}\right \rfloor)]는 [math(x\geq a+1)]일 때 1과 2 사이이고 아니라면 0과 1 사이이므로 여기에 최대 정수 함수를 적용하면 각각 1과 0으로 변환된다. 여기서 [math(a)]를 [math(i)]까지의 소수의 수라고 생각하면 위 식은 [math(i)] 이하의 소수의 수보다 [math(n)]이 (1 이상)더 크다면, 즉 [math(n)]번째 소수가 [math(i)]보다 크면 1이고 그렇지 않다면 0이다. | |
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| 16 | 16 | 이제 이것을 시그마에 집어넣어 1부터 [math(2^{n})][* n번째 소수가 [math(2^{n})]보다 작다는 것은 증명되어 있으므로 1을 [math(n)]번째 소수만큼 더하지 못하는 경우는 없다.]까지 계산해 보면, [math(n)]번째 소수보다 1 작은 값까지 계속 1을 더하다가 [math(n)]번째 소수부터는 0을 더하기 시작할 것이다. n이 3이라고 하면 8까지 확인해 보면 될 것이다. 자기 자신 이하의 소수의 수가 3 미만인 1~4까지는 1, 5~8까지는 0이므로 계산하면 [math(1+1+1+1+0+0+0+0)]으로, 3번째 소수보다 1 작다. 그러므로 윌런스의 공식에서 1을 뺀 값은 [math(n)]번째 소수보다 1 작다. 여기에 1을 더하면 된다. |