메르센 소수(비교)

 r17 vs r18
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  * 홀수소수 [math(p)]를 지수로 갖는 메르센 수의 소인수 [math(q)]는 모두 [math(8k\pm 1)] 꼴이며, [math(q\equiv 1\pmod {2p})]를 만족한다.
 == 역사 ==
-메르센 소수라는 이름은 17세기의 수학자 겸 철학자 [[마랭 메르센]]에서 왔다. 메르센은 1644년 한 가지 추측을 냈는데, 그 내용은 [math(n)]이 257 이하일 때 [math(2^n-1)]이 소수가 되는 경우는 [math(n)]이 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257인 경우뿐이라는 것이다. 지수가 19인 메르센 수까지는 이미 알려져 있는 소수들이였고, [math(M_{31})][* 2147483647. 32비트 정수에서 표시할 수 있는 가장 큰 수이다.]이 소수라는 것까지는 사실이었지만 그 이후로는 정확성이 매우 떨어졌다. 애초에 메르센도 이것을 어떻게 알아냈는지에 대해 자세히 설명하지 않았고, 컴퓨터 등 검증할 수단도 발달하지 않았던 시대였으니 확인하기는 어려웠다. 지수가 61, 89, 107인 경우가 목록에서 빠져 있고 67, 257인 경우는 소수가 아님에도 포함되어 있다는 것이 틀린 부분이다.
+메르센 소수라는 이름은 17세기의 수학자 겸 철학자 [[마랭 메르센]]에서 유래하였다. 메르센은 1644년 한 가지 가설을 냈는데, 그 내용은 [math(n)]이 257 이하일 때 [math(2^n-1)]이 소수가 되는 경우는 [math(n)]이 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257인 경우뿐이라는 것이다. 지수가 19인 메르센 수까지는 이미 알려져 있는 소수들이였고, [math(M_{31})][* 2147483647. 32비트 정수에서 표시할 수 있는 가장 큰 수이다.]이 소수라는 것까지는 사실이었지만 그 이후로는 정확성이 매우 떨어졌다. 애초에 메르센도 이것을 어떻게 알아냈는지에 대해 자세히 설명하지 않았고, 17세기 당시에는 컴퓨터 등 검증할 수단이 없었거나 발달하지 않았던 시대였으니 정확히 확인하기는 어려웠다. 지수가 61, 89, 107인 경우가 목록에서 빠져 있었고, 67, 257의 경우는 소수가 아님에도 포함되어 있다는 것이 틀린 부분이다.
 년에 [[레온하르트 오일러]]에 의해 [math(M_{31})]이 증명되었고, 100년이 넘는 기간 동안 가장 큰 메르센 소수의 자리를 지키다 에두아르 뤼카(Édouard Lucas)가 1876년에 [math(M_{127})]가 소수임을 증명했다. 그는 [math(M_{67})]이 소수가 아니라는 사실 또한 밝혀냈는데, 소인수를 찾아내지는 못했다. 그 뒤 1903년에 프랭크 넬슨 콜이 '큰 수의 소인수분해'라는 강연을 열었다. 미국 수학자 협회 회의실에서 그는 먼저 [math(M_{67})](147573952589676412927)을 써 내려갔다. 그 다음 [math(M_{67})]의 두 소인수(193707721,  761838257287)를 적은 후, 거의 한 시간 동안 아무 말도 하지않고 두 소인수를 곱해 M67과 같은 수를 얻었다. 그리고 그의 청중들은 우레 같은 박수를 보냈다고 한다. 이것을 증명하는 데에는 꼬박 3년 간의 일요일이 걸렸다고 한다. 1883년 이반 페르부신(Ivan Pervushin)이 [math(M_{61})], 1911년과 1914년에 랄프 어니스트 파워스(Ralph Ernest Powers)가 각각 [math(M_{89})]와 [math(M_{107})]를 발견함으로써 메르센의 추측에서 빠졌던 부분들이 모두 채워졌다.
-년부터는 컴퓨터의 발달로 인해 메르센 소수 탐색에 속도가 붙기 시작했으며, 1952년 한 해에 [math(M_{521})], [math(M_{607})], [math(M_{1279})], [math(M_{2203})], [math(M_{2281})]이 줄줄이 발견되었다.
+년부터는 컴퓨터의 발달로 인해 메르센 소수 탐색에 속도가 붙기 시작했으며, 1952년 한 해에만 [math(M_{521})], [math(M_{607})], [math(M_{1279})], [math(M_{2203})], [math(M_{2281})]이 줄줄이 발견되었다.
 년에는 [[GIMPS]]가 창설되어 더뎌지던 메르센 소수 탐색을 다시 한 번 가속화시켰다. 같은 해 11월 13일에 발견된 [math(M_{1398269})]를 시작으로는 지금까지 발견된 모든 메르센 소수는 GIMPS에 의해 발견되었다.
-년 8월 23일에 [math(M_{43112609})]가 발견되었다. 이는 최초로 발견된 천만 자리를 넘는 소수로, 최초로 천만 자리를 넘는 소수의 발견자에게 10만 달러의 상금을 지급하기로 되어 있었다. 그러나 같은 해 9월 6일에 천만 자리를 넘는 또 다른 소수인 [math(M_{37156667})]이 발견되어 고작 2주 차이로 상금을 놓치게 되었다. 또한 [math(M_{43112609})]는 발견 당시 45번째 메르센 소수였는데, 더 작은 소수가 발견되어 순서를 조정할지에 대한 의견이 오간 후 46번째로 조정되었다. 그러나 재미있게도 2009년 6월 4일 [math(M_{42643801})]이 발견되어 [math(M_{43112609})]는 47번째로 다시 한 번 순서가 조정되었다.
+년 8월 23일에 [math(M_{43112609})]가 발견되었다. 이는 최초로 발견된 천만 자리를 넘는 소수로, 최초로 천만 자리를 넘는 소수의 발견자에게 10만 달러의 상금을 지급하기로 되어 있었다. 그러나 같은 해 9월 6일에 천만 자리를 넘는 또 다른 소수인 [math(M_{37156667})]이 발견되어 고작 2주 차이로(!) 상금을 놓치게 되었다. 또한 [math(M_{43112609})]는 발견 당시 45번째 메르센 소수였는데, 더 작은 소수가 발견되어 순서를 조정할지에 대한 의견이 오간 후 46번째로 조정되었다. 그러나 재미있게도 2009년 6월 4일 [math(M_{42643801})]이 발견되어 [math(M_{43112609})]는 47번째로 다시 한 번 순서가 조정되었다.
 년에는 GIMPS에서 여태 사용하던 LL(Lucas-Lehmer) 테스트 대신 PRP(probable prime)테스트를 소수 판별에 사용하기 시작했다. 2024년 10월 12일, 처음으로 PRP 테스트로 메르센 소수가 발견되었다. [math(M_{136279841})]으로, PRP를 사용하기 시작한 지 6년 만이다. 이후 발견된 메르센 소수는 아직까지 없다.
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